Задать вопрос
19 сентября, 06:25

Прямая OL, не перпендикулярная оси OZ, равномерно вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. Точка М движется по прямой OL со скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ подвижной точки до точки О. Написать параметрические уравнения траектории точки М.

(траектория называется конической спиралью)

+2
Ответы (1)
  1. 19 сентября, 07:48
    0
    В неподвижной системе координат расстояние до точки O изменяется в соответствии с дифференциальным уравнением:

    r' (t) = r (t) / τ (неизвестный коэффициент пропорциональности здесь 1/τ)

    Уравнение с разделяющимися переменными, решаем:

    dr / r = dt / τ

    r = r (0) exp (t / τ)

    Переходим от r к (x, y, z) :

    x (t) = x (0) exp (t / τ)

    y (t) = y (0) exp (t / τ)

    z (t) = z (0) exp (t / τ)

    В вращающейся системе координат z остаётся такой же, а x и y периодически изменяются:

    x (t) - > x (t) cos (ωt + φ)

    y (t) - > y (t) sin (ωt + φ)

    В итоге получаем такие параметрические уравнения:

    x (t) = x (0) cos (ωt + φ) exp (t / τ)

    y (t) = y (0) sin (ωt + φ) exp (t / τ)

    z (t) = z (0) exp (t / τ)

    Если выбрать в качестве параметра угол θ, на который повернулась прямая, то будет немного по-другому:

    x (θ) = a cos θ exp (θ/Φ)

    y (θ) = a sin θ exp (θ/Φ)

    z (θ) = b exp (θ/Φ)

    (Φ = ωτ)
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Прямая OL, не перпендикулярная оси OZ, равномерно вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. Точка М движется по прямой OL со ...» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы