Шесть простых чисел являются последовательными членами непостоянной арифметической прогрессии. найдите наименьшее значнение разности этой прогрессии.

Запишем эти числа по возрастанию. Первое из них не может быть 2, 3, или 5, т. к. если разность прогрессии равна d, то числа 2+2d, 3+3d и 5+5d принадлежат нашей шестерке и они составные. Т. е. в нашей шестерке вообще нет простых чисел 2, 3, 5.

Дальше воспользуемся тем, что если разность прогрессии d не делится на простое число р, то среди любых p подряд идущих элементов такой прогрессии есть кратный p (доказательство см. в конце).

В нашем случае, это значит, что если бы d не было кратно хотя бы одному из чисел 2, 3 или 5, то среди чисел нашей шестерки были бы составные числа (соответственно кратные 2, 3 или 5). Это противоречие. Значит, d обязано быть кратным одновременно 2, 3 и 5, т. е. как минимум d кратно 2*3*5=30. Как не трудно убедиться, как раз 6 чисел 7, 37, 67, 97, 127, 157 являются простыми и образуют арифметическую прогрессию с разностью 30.

P. S. Доказать то свойство можно так. Если бы среди p подряд идущих элементов прогрессии с разностью d не было кратных p, то среди них было бы 2 разных элемента имеющих одинаковые остатки при делении на p (т. к. разных остатков всего p и среди них нет 0). Допустим, это элементы a+dn и a+dm. Тогда их разность должна делиться на p, т. е. d (n-m) кратно p. Т. к. p - простое и d не делится на р, то n-m кратно p. Т. е. два разных элемента a+dn и a+dm не могут быть среди p подряд идущих. ведь расстояние между ними как минимум p.