Помогите найти интересные задачи по математика (6-7 класс).

С решением.

1. Есть два ведра емкостью 4 и 9 литров. Как с их помощью принести из речки ровно 6 литров воды? ...

Ответ: Из полного девятилитрового ведра нужно вылить в реку 8 литров воды, пользуясь ведром в 4 литра. Затем литр, оставшийся в большом ведре, нужно перелить в пустое четырехлитровое ведро. Если в него теперь добавить три литра из полного большого ведра, то в девятилитровом ведре как раз останется шесть литров воды.

2. Три землекопа за два часа выкопали три ямы.

Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?

Ответ: Шесть землекопов за 2 часа выкопают 3 · 2 = 6 ям. Шесть землекопов за 10 часов выкопают 6·5=30 ям. Тогда шесть землекопов за 5 часов выкопают 30 : 2 = 15 ям.

3. В триседьмом царстве живут драконы. У каждого дракона одна, две или три головы,

а) Может ли у 40 % драконов быть 60 % голов?

б) Может ли у 40 % драконов быть 70 % голов?

Ответ: а) Покажем, что у 40% драконов может быть 60% голов. Пусть в этом царстве живет 100 драконов: 40 драконов с одной головой, 20 - с двумя головами и 40 - с тремя. Тогда число голов у всех драконов равно 40 • 1 + 20 • 2 + 40 • 3 = 200. При этом все 40 трехглавых драконов, что составляет 40% от общего числа драконов, имеют 40 • 3 = 120 голов, что составляет 120/200 • 100% = 60% от общего числа голов.

б) Пусть число драконов равно х, а общее число голов у них равно у. Предположим, что какие-то 40% драконов имеют 70% голов. Тогда, поскольку каждый из этих драконов имеет не более трех голов, то 0,7 у < или = 3 • 0,4 х. С другой стороны, поскольку остальные 60% драконов имеют 30% голов и у каждого из них не менее одной головы, то 0,6 х < или = 0,3y. Но эти неравенства не могут выполняться одновременно, так как они равносильны соответственно 7 у < или = 12 х и 12x < или = 6 у. Поэтому у 40% драконов не может быть 70% голов.

4. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскуток граничит только с белыми, а каждый белый - с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

Ответ: Обозначим искомое число лоскутков белого цвета через x. Тогда лоскутков черного цвета будет 32 - x. Чтобы составить уравнение, подсчитаем двумя способами количество границ белых лоскутков с черными. Каждый белый лоскут граничит с тремя черными, следовательно, число границ равно 3x. С другой стороны, каждый черный лоскут граничит с пятью белыми и число границ равно 5 (32 - х). Получаем уравнение 3x = 5 (32 - х), т. е. 8 х = 160 и х = 20.