Тело движется со скоростью v = (3t^2+6t-1) м/с найти путь пройденый за 3 секунды

Пусть временная точка старта отсчета равна t0. При этом скорость в этот момент времени равна v (t0) = 3t0^2+6t0-1 м/с.

Путь, пройденный за 3 секунды, начиная с момента времени t0, равен определенному интегралу ∫ (3t^2+6t-1) dt от t0 до t0+3.

Неопределенный интеграл равен t^3+3t^2-t+C.

Чтобы найти определенный интеграл, подставим границы:

((t0+3) ^3 + 3 (t0+3) ^2 - (t0+3)) - (t0^3+3t0^2-t0) = 9t0^2 + 45t0+51.

Как видно, путь, пройденный за 3 секунды, зависит от начального момента времени. То есть задача неоднозначна. Добавим тогда условие, что t0=0 с. Тогда начальная скорость равна v (0) = - 1 м/с, то есть тело двигалось в противоположном направлении сначала. Но путь - это длина всей траектории движения. То есть это расстояние, которое тело прошло сначала в одном направлении до определенной точки, а затем от этой точки прошло в другом направлении до конечной точки. То есть путь равен даже не этому выражению ∫ (3t^2+6t-1) dt от t0 до t0+3, а этому: ∫| 3t^2+6t-1|dt от t0 до t0+3.

Тогда на промежутке от 0 до 3 секунд (раз условились, что t0=0c) находим момент времени, когда v = 0.

3t^2+6t-1 = 0

D = 6^2 - 4*3 * (-1) = 48

t = (-6 + - √48) / (2*3) = - 1+-2√3/3

То есть t=2√3/3-1∈[0; 3]

Тогда путь равен сумме | ((2√3/3-1) ^3 + 3 * (2√3/3-1) ^2 - (2√3/3-1)) - (0^3+3*0^2-0) | + | (3^3 + 3*3^2 - 3) - ((2√3/3-1) ^3+3 * (2√3/3-1) ^2 - (2√3/3-1)) | = 32√3/9+45 м ...

S (t) = t³+3t²-t

s (3) = 27+27-3=51