1/1*2+1/2*3+1/3*4 + ... + 1/49*50.

/ - это дробь

1 / (1·2) + 1 / (2·3) + 1 / (3·4) + ... + 1 / (48·49) + 1 / (49·50) это ряд, формула которого 1/[n (n+1) ].

Известно, что 1/[n (n+1) ] = 1/n - 1 / (n+1)

(проверка: 1/n - 1 / (n+1) = [ (n+1) - n]/[n (n+1) ] = 1/[n (n+1) ])

Представим каждый член ряда в виде разности:

(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/48 - 1/49) + (1/49 - 1/50)

Сгруппировав положительные и отрицательные дроби, и взяв в скобки, мы получим разность двух рядов:

(1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/48 + 1/49) - (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/49 + 1/50)

Эти ряды имеют по 48 одинаковых дробей, выделим их скобками:

1/1 + (1/2 + 1/3 + ... + 1/48 + 1/49) - (1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/49) - 1/50

Если провести вычитание скобок, то останется только разность первого члена первого ряда и последнего второго: 1/1 - 1/50 = 50/50 - 1/50 = 49/50

Ответ: Сумма данного ряда 49/50, т. е:

1 / (1·2) + 1 / (2·3) + 1 / (3·4) + ... + 1 / (49·50) = 49/50