Кривая проходит через точку (2; - 1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти уравнение кривой

Пусть уравнение кривой выглядит так:

y = f (x)

Тогда угловой коэффициент касательной в любой точке равен:

k = f' (x)

С другой стороны:

k = 3y^2

Приравнивая, получаем:

dy/dx = 3y^2

Получили квадратное уравнение. Оно простое, с разделяющимися переменными. Решаем:

dy/y^2 = 3dx

-1/y = 3x + C

y = - 1 / (3x + C)

Найдем С. Для этого вспомним, что кривая проходит через точку А (2, - 1). Подставляя координаты точки А получаем:

-1 = - 1 / (6 + C)

-6 - C = - 1

C = - 5

Итого искомое уравнение:

у = - 1 / (3x - 5)