При каком наименьшем натуральном n, значение выражения n^3+12n^2+15n+180 делится на 23?

Разложим многочлен на √множители способом группировки:

n³+12n²+15n+180=n² (n+12) + 15 (n+12) = (n+12) (n²+15).

Для того, чтобы значение многочлена делилось на 23, должен делиться либо первый множитель, либо второй (число 23 - простое).

n+12=23 при n = 11, n²+15=23 при n=√8, а это число не натуральное. Ответ 11.