Три числа, сумма которых равна 33, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Если первое число оставить без изменения, второе число уменьшить на 3, а третье - на 2, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Сумма трёх чисел

a₁+a₂+a₃=33

Используя свойства арифметической прогрессии находим a₂ и a₃

a₂=a₁+d

a₃=a₂+d = (a₁+d) + d=a₁+2d

Перепишем сумму трёх чисел

a₁+a₁+d+a₁+2d=33

3a₁+3d=33

3a₁=33-3d

a₁ = (33-3d) / 3=11-d

Далее переходим к геометрической прогрессии. Известно, что

b₁=a₁=11-d

b₂=a₂-3 = (a₁+d) - 3=11-d+d-3=8

b₃=a₃-2 = (a₁+2d) - 2=11-d+2d-2=9+d

Из свойств геометрической прогрессии, по формуле нахождения n-го члена геометрической прогрессии

b (n) ²=b (n-1) * b (n+1)

получим следующее

b₂²=b₁*b₃

8² = (11-d) * (9+d)

99+11d-9d-d²=64

-d²+2d+99-64=0

-d²+2d+35=0

D=2²-4 * (-1) * 35=4+140=144

d = (-2-12) / - 2=7 - данный корень не подходит, так как арифметическая прогрессия убывающая разность d должна быть отрицательной.

d = (-2+12) / - 2=-5

a₁=11 - (-5) = 16

a₂=16-5=11

a₃=11-5=6

Проверяем

16+11+6=33