Есть куча из 1001 камня. Одним ходом из какой-нибудь кучи, где лежит больше одного камня, выкидывают один из них, а затем любую кучу делят на две меньшие. Какие ситуации можно получить? (Возможные ответы: 1) в каждой куче только 1 камень; 2) в каждой куче только 3 камня; 3) в каждой куче 4 камня; 4). в каждой куче 5 камней; 5) в каждой куче 10 камней 6) в каждой куче 500 камней; 7) в каждой куче 600 камней.

6) В каждой куче 500 камней - мы получаем на первом же шаге.

Из кучи 1001 выкидываем 1, а оставшуюся 1000 делим пополам.

1) В каждой куче по 1 камню - наверное, можно получить.

Когда-то остается куча с 2 камнями, делим ее на две кучи по 1 камню.

На этом обе эти кучи выбывают из игры, переходим к другим кучам.

7) В каждой куче 600 камней - получить никак нельзя.

Остальные варианты под сомнением. Думаю, что 2) и 3) получить нельзя,

но доказательств нет. Насчет 4) и 5) не уверен, может и можно.