В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой, третья с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

По признакам делимости число кратно 7,11,13, если разность между числом, выраженным тремя последними цифрами данного числа, и числом, выраженным остальными цифрами этого числа, делится на 7,11,13. Так как первые 3 цифры равны последним 3 цифрам, то такая разность будет равна 0, а 0 можно разделить на любое число, в том числе и на 7, 11, 13.

Чтобы число было кратно одновременно 7, 11, 13, нужно, чтобы это число было кратно 7*11*13=1001.

Поскольку при умножении числа 1001 на abc будет получаться число вида abcabc, утверждение, что abcabc кратно 1001 справедливо. А следовательно, число вида abcabc кратно 7, 11, 13, что и требовалось доказать.