Реферат на тему дроби

Понятие дробиПусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о дине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде Е, где Е - длина единичного отрезка е, а символ называют дробью. В общем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде, где символ называют дробью. К записи дроби числа m и n - натуральные, m - называется числителем, n - знаменателем дроби. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Вернемся к рис., где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и длина его будет выражаться дробью. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью. Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью, то она может быть выражена и любой дробью вида, где к - натуральное число. Теорема. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mg = npОпределение: Две дроби и называются равными, если mg = np. Если дроби равны, то пишут =. Например =, так как 17 х 21 = 119 х 3 = 357, а?, потому что 17 х 27 = 459,19 х 23 = 437 и 459? 437. Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину и того же отрезка. Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать. Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности. Доказательство: Действительно, равенство дробей рефлексивно: =, так как равенство mn = mn справедливо для любых натуральных числе m и n. Равенство дробей симметрично: =, то =, так как из mg = np следует, что pn = mg (m, n, p, g? N). Оно транзитивно: если = и =, то =. В самом деле, так как =, то mg = np, так как =, то ps = gr. Умножив обе части равенства mg = np на s, а равенство ps = gr на n, получим mgs = nps и nps = grs. Откуда mgs = grs или ms = nr. Последнее равенство означает, что =. Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовательно оно является отношением эквивалентности. Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основанного сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю. Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с лишим числителем и знаменателем. Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т. е. В (5; 17) = 1. Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей, равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей = является общее кратное чисел n и g, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее.