Вывести формулу последовательности путем деления многочленов с остатком:

(2^ (n-1) - 1) / (2^h+2^k+z)

n, h, k, z - целые числа, причем:

n=2^h+2^k+z

h=[lg (n) / lg2],

k=[lg (n-2^h) / lg2]

z=n-2^h-2^k, где []-оператор выделения целой части

Question

Математика

Светланыч

27 мая, 19:02

Вывести формулу последовательности путем деления многочленов с остатком:

(2^ (n-1) - 1) / (2^h+2^k+z)

n, h, k, z - целые числа, причем:

n=2^h+2^k+z

h=[lg (n) / lg2],

k=[lg (n-2^h) / lg2]

z=n-2^h-2^k, где []-оператор выделения целой части

+1

Ответы (1)

Знаете ответ?

Аграфена · Answer 1

Формула общего члена последовательности:

a (n) = (2^ (n-1) - 1) / n. (по условию)

Здесь важно написать каковым может быть n.

Проанализируем выражения для h и k:

h = [lg (n) / lg2] - под целой частью видим формулу перехода к основанию 2:

h = [log (2) n].

Аналогично для k:

k = [log (2) (n-2^h) ]

Отсюда видно, что n принадлежит области натуральных чисел, за исключением чисел 1,2, 4, 8, ... 2^m ..., где m = 0,1,2 ..., то есть

m прин. {0}vN.

Распишем несколько членов последовательности для допустимых значений n:

n = 3, h = 1, k = 0, z = 0 a (n=3) = 3/3 = 1.

n = 5, h = 2, k = 0, z = 0 a (n=5) = 15/5 = 3.

n = 6, h = 2, k = 1, z = 0 a (n=6) = 31/6

n = 7, h = 2, k = 1, z = 1 a (n=7) = 63/7 = 9

n = 9, h = 3, k = 0, z = 0 a (n=9) = 255/9 = 85/3 ...

... и так далее.

Проиллюстрируем нахождение a (n) путем деления (2^ (n-1) - 1) на n в виде деления многочленов, записанных в двоичной системе исчисления, на некоторых примерах: (удобно, так как и делимое и делитель представляют собой комбинации степеней двойки). Разряд h постоянно растет, а разряды k и z никуда не передвигаются.

Тогда делимое (2^ (n-1) - 1) в двоичной записи представляет собой (n-1) единиц. А делитель - число n в двоичной записи.

Пусть n=5.

1111 | 101

101 11

101

101

0

Результат: a (5) = 3.

Возьмем теперь случай деления с остатком.

Пусть n = 9.

11111111 | 1001

1001 1110

1101

1001

1001

1001

11

Итак получили число 1110 и 11 - в остатке. В десятичной системе: 28 и 3

Значит результат деления: 28 и 3/9 = 28 и 1/3 = 85/3, что совпало с нашими предыдущими вычислениями.

Итак формула последовательности:

a (n) = (2^ (n-1) - 1) / n, где n принадлежит области N натуральных чисел, кроме значений 2^m, где m = 0,1,2,3 ...

P. S. Может я все-таки неверно понял задание ... просто формула самой последовательности лежит на поверхности