11. Докажите, что во всяком непрямоугольном треугольнике произведение расстояний от ортоцентра до концов высоты есть величина постоянная для всех высот данного треугольника.

12. Докажите, что биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического сторон треугольника, выходящих из той же вершины, на косинус половины угла между этими сторонами.

11. Пусть высоты АА1, ВВ1 и СС1 непрямоугольного треугольника ABC (или их продолжения) пересекаются в точке Н. Доказать, что АН • НА1=ВН • НВ1=СН • НС1. Решение. Если рассмотреть остроугольный треугольник ABC с высотами АА1 и ВВ1, пересекающиеся в точке Н, то видно треугольники АНВ1 и ВНА1 подобны по двум углам (∠АНВ1=∠ВНА1, ∠АВ1 Н=∠ВА1 Н=90), поэтому АН/ВН=НВ1/НА1. Отсюда следует, что АН • НА1=ВН • НВ1. Аналогично доказывается, что ВН • НВ1=СН • НС1. 12. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами АВ=с, АС=b и биссектрисой АА1. Обозначим буквой F точку пересечения прямой, проходящей через точку А1 и перпендикулярной к АА1, с большей (точнее, не меньшей) из сторон АВ и АС. Исходя из признака равенства треугольников по 2 сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины и по теореме о биссектрисе треугольника: AF=2bc / (b+c). Следовательно, АА1=2bc / (b+c) * cos (A/2). Утверждение доказано