Решите уравнение tg^2 (x + y) + ctg^2 (x + y) = (корень (2x/x^2+1)) + 1

Заменим x=tg (a/2), тогда по формуле тригонометрической подстановки:

sqrt (2x / (1+x^2)) = sqrt (sinx). Тк - 1<=sinx<=1

sqrt (sinx) <=1, откуда:

sqrt (2x/1+x^2) <=1

sqrt (2x/1+x^2) + 1<=2

Преобразуем левую часть уравнения:

Заменим : tg (x+y) = t

t^2+1/t^2 = (t-1/t) ^2+2>=2 (тк квадрат всегда больше 0)

Таким образом:

(t-1/t) ^2+2>=2

sqrt (2x/1+x^2) + 1<=2

а тогда равенство может выполняется только тогда когда:

(t-1/t) ^2+2=2

Sqrt (2x/1+x^2) + 1=2

t-1/t=0 t=+-1. tg (x+y) = + - 1 x+y=+-pi/4 + pi*n n-целое число

sqrt (2x/1+x^2) = 1

2x=1+x^2

x^2-2x+1=0

(x-1) ^2=0

x=1

Откуда:

y=+-pi/4-1+pi*n n-целое

Ответ:x=1; y=+-pi/4-1+pi*n n-целое число