Остаток от деления числа а на 5 равен 4, а от деления на 7 равен 1. Чему равен остаток от деления числа а на 35?

Запишем условия в виде следующих выражений:

a = 5 * N + 4

a = 7 * M + 1

где M и N - какие-то натуральные числа, отличные от нуля (т. к. при подстановке вместо одного их них нуля мы не сможем найти решение системы в натуральных числах)

Видим, что левые части равны, значит, равны и правые.

5 * N + 4 = 7 * M + 1

M = (5 * N + 3) / 7

Зная, что M - натуральное, получаем, что минимальное N равно 5, а последующие получаются путем прибавления произвольного количества семерок.

При N = 5 получаем, что а = 29, при N = 12 получаем, что а = 64, а при N = 19 a равняется 99. Т. о. видно, что при росте N итоговые числа отличаются ровно на 35, а значит, эта разность никак не влияет на остаток отделения на 35. Получается, что остаток от деления а на 35 для любого N, определенного нами выше (т. е. 5 + K*7, где K - любое натуральное или ноль), равен остатку от деления а при N = 5.

29 / 35 = 0 * 35 + 29 в остатке.

Ответ: остаток от деления числа а на 35 будет равен 29.