Найти промежутки возрастания и спадания, екстремумы функции, f (x) = x (x+2) ^2

F (x) = x · (x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x.

Ищем производную. Она имеет вид: 3 х^2 + 8x + 4. Приравняем эту производную к нулю, решим получившееся уравнение. Эти корни и будут точками экстремума.

3 х^2 + 8x + 4 = 0

x = - 2 и х = - 2/3.

Ставим эти точки на числовой прямой. Числовая прямая разобьётся на 3 промежутка: 1-й от минус бесконечность до-2

2-й от - 2 до - 2/3

3-й от - 2/3 до плюс бесконечность.

На каждом промежутке производная имеет свой знак. Посчитаем его (любое число из промежутка поставь в производную и получишь знак)

На первом промежутке производная положительна (на этом промежутке данная функция возрастает)

На втором производная отрицательна (данная функция на этом промежутке убывает)

На третьем промежутке производная положительна (на этом промежутке данная функция возрастает).