Задать вопрос
21 февраля, 14:07

Найти линии уровня поверхности z=1 / (x^2+y^2). Найти градиент в точке М (1; 0). Показать, что он перпендикулярен соответствующей линии уровня.

+5
Ответы (1)
  1. 21 февраля, 15:34
    0
    через точку М (1; 0) проходит линия уровня вида z0=1 / (x^2+y^2)

    при подстановке х=1 у=0 получаем z0=1 / (1^2+0^2) = 1

    через точку М (1; 0) проходит линия уровня 1=1 / (x^2+y^2) или x^2+y^2 = 1 - окружность с центром в начале координат и радиусом 1

    найдем уравнение касательной в точке

    дифференциал

    2xdx+2ydy = 0

    при подстановке х=1 у=0 получаем

    2*1*dx+2*0*dy = 0

    dx = 0

    х = const = 1 - уравнение касательной

    единичный вектор касательной имеет вид A = (0,1)

    найдем градиент

    dz/dx = d/dx (1 / (x^2+y^2)) = - 1 / (x^2+y^2) ^2 d/dx (x^2+y^2) = - 2x / (x^2+y^2) ^2

    dz/dу = d/dу (1 / (x^2+y^2)) = - 1 / (x^2+y^2) ^2 d/dу (x^2+y^2) = - 2 у / (x^2+y^2) ^2

    при подстановке х=1 у=0 получаем

    grad (z) = G = (-2; 0)

    скалярное произведение векторов А и G

    AG = 0 * (-2) + 1*0=0 - значит вектор касательной к линии уровня в точке М (1; 0) (а значит и сама линия уровня, проходящая через точку М (1; 0)) перпендикулярен к вектору градиента в точке М (1; 0)
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Найти линии уровня поверхности z=1 / (x^2+y^2). Найти градиент в точке М (1; 0). Показать, что он перпендикулярен соответствующей линии ...» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы