Найти градиент функции z=f (x, y) в точке A и производную этой функции в направлении вектора AB в точке A. Постройте линию уровня функции z=f (x, y), проходящую через точку A, и найденный градиент с началом в точке A

z=-x^2/4-y^2

A (3; 2)

B (6; -2)

Пример №1. Дана функция z=z (x, y), точка A (x0, y0) и вектор a. Найти:

1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a. Решение.

z = 5*x^2*y+3*x*y^2

Градиентом функции z = f (x, y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т. е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А (1; 1)

или

Модуль grad (z) :

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а (6; -8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. Пример №2. Даны z=f (x; y), А (х0, у0).

Найти а) градиент функции z=f (x; y) в точке А.

б) производную в точке А по направлению вектора а. Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l (1; 2).

z = ln (sqrt (x^2+y^2)) + 2^x Решение.

Градиентом функции z = f (x, y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т. е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а (1; 2).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. Пример №4. Дана функция. Найти:

1) gradu в точке A (5; 3; 0) ;

2) производную в точке А в направлении вектора.

Решение.

1 ...

Найдем частные производные функции u в точке А.

;;

,.

Тогда

2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле

.

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти, найдем единичный вектор вектора.

, где.

Отсюда. Пример №5. Даны функция z=f (x), точка А (х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.

Решение.

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А (1; 1)

или

Модуль grad (z) :

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а (2; -5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.