Из одной точки проведены две наклонные к плоскости, образующие между собой угол β, а с плоскостью - углы, равные Ф. Найдите угол между их проекциями на эту плоскость.

Обозначим наклонные a, b ...

т. к. наклонные образуют с плоскостью равные углы и проведены из одной точки, то эти наклонные равны ...

т. к. перпендикуляр, опущенный на плоскость,

с одной стороны = a*sin (Ф) = b*sin (Ф) = h = > a=b

их проекции тоже равны (обозначим p))) ...

отрезок, соединяющий концы наклонных на плоскости - - - (с)

искомый угол (х) ...

угол между наклонной и плоскостью - - - угол между наклонной и ее проекцией ...

из прямоугольного треугольника по определению косинуса можно записать:

p = a*cos (Ф)

по т. косинусов c^2 = 2*a^2 - 2*a^2*cos (β) = 2*a^2 * (1 - cos (β))

c^2 = 2*p^2 - 2*p^2*cos (x) = 2*p^2 * (1 - cos (x)) = 2*a^2 * (cos (Ф)) ^2 * (1 - cos (x))

эти равенства можно приравнять ...

1 - cos (x) = (1 - cos (β) / (cos (Ф)) ^2

cos (x) = 1 - (1 - cos (β) / (cos (Ф)) ^2

угол равен арккосинусу этого выражения ...