Найдите радиусы окружностей описанного около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b и вписанной в него

Пусть А - вершина в месте пресечения боковых сторон.

Опустим перпендикуляр АМ на основание (он будет и медианой стороны а и биссектрисой угла А).

Из середины стороны в восстановим перпендикуляр до пересечения с высотой АМ в точке О - это центр описанной окружности. Из точки О опустим перпендикуляр ОК на сторону в. В полученном треугольнике ОКС угол КОС равен углу В (как половина центрального угла, равного вписанному углу 2 В).

По теореме косинусов cos B = (b²+a²-b²) / 2ab = a / 2b.

sin B = √ (1-cos²B) = √ (1 - (a / 2b.) ²) = √ (1-a²/4b²).

Из треугольника ОКС (где ОС=R) находим b/2R = sin B.

Тогда R = b² / √ (4b²-a²).

Для определения радиуса вписанной окружности из вершины С проведем биссектрису СО₂. Точка О₂ - центр вписанной окружности.

r = (a/2) * tg (C/2).

Используя формулу tg (C/2) = + - √ ((1-cos C) / (1 + cos C)), находим:

r = (a/2) * √ ((2b-a) / (2b+a)).