Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Рассмотрим треугольники ADC и CBD.

∠DCA=∠CBA (т. к. градусная мера дуги CA равна половине угла DCA по четвертому свойству углов, связанных с окружностью, и на эту же дугу опирается вписанный угол CBA, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по теореме).

∠CDB - общий для обоих треугольников, следовательно, по признаку подобия, треугольники ADC и CBD - подобны.

Следовательно, по определению подобных треугольников запишем:

CD/BD=AC/BC=AD/CD

AC/BC=AM/MB=10/18 (по первому свойству биссектрисы).

Из этих равенств выписываем:

AD=CD*10/18

BD=CD*18/10, (BD=AD+AB=AD+18+10=AD+28)

AD+28=CD*18/10

CD*10/18+28=CD*18/10

28=CD*18/10-CD*10/18

28 = (18*18*CD-10*10*CD) / 180

28*180=CD (324-100)

CD=28*180/224=180/8=22,5

Ответ: CD=22,5