Вычислить косинумы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки A (2; 1; 8), B (-1; 3; 4) и С (3; 0; 12)

Даны точки A (2; 1; 8), B (-1; 3; 4) и С (3; 0; 12).

Находим уравнение плоскости через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

= 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2 y - 1 z - 8

(-1) - 2 3 - 1 4 - 8

3 - 2 0 - 1 12 - 8

= 0

x - 2 y - 1 z - 8

-3 2 - 4

1 - 1 4

= 0

x - 2 2·4 - (-4) · (-1) - y - 1 (-3) ·4 - (-4) ·1 + z - 8 (-3) · (-1) - 2·1 = 0

4 x - 2 + 8 y - 1 + 1 z - 8 = 0

4x + 8y + z - 24 = 0.

Переведём это уравнение в уравнение в "отрезках".

(x / (24/4)) + (y / (24/8) + (z/24) = 1.

(x/6) + (y/3) + (z/24) = 1.

Получили вершины тетраэдра:

А (6; 0; 0), В (0; 0; 0), С (0; 3; 0) и Д (0; 0; 24).

Находим длины перпендикуляров из начала координат (точка В) к отрезкам АС, АД и СД.

АС = √ (3² + 6²) = √ (9 + 36) = √45 = 3√5.

ВК = (3*6) / (3√5) = 6/√5.

АД = √6² + 24²) = √ (36 + 576) = √612 = 6√17.

ВМ = (6*24) / (6√17) = 24/√17.

СД = √ (3² + 24²) = √ (9 + 576) = √585 = 3√65.

ВЕ = (3*24) / (3√65) = 24/√65.

Находим наклонные отрезки ДК, СМ и АЕ.

ДК = √ (24² + ВК²) = √ (576 + (36/5)) = √ (2916/5).

СМ = √ (3² + ВМ²) = √ (9 + (576/17)) = √ (729/17).

АЕ = √ (6² + ВЕ²) = √ (36 + (576/65)) = √ (2916/65).

Теперь можно определить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки A (2; 1; 8), B (-1; 3; 4) и С (3; 0; 12).

Косинус угла ДКВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОУ) равен: cos (ДКВ) = ВК/КД = (6/√5) / (√ (2916/5)) = 6/√2916 = 1/9.

Косинус угла СМВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОZ) равен: cos (СМВ) = ВМ/СМ = (24/√17) / (√ (729/17)) = 6/√2916 = 8/9.

Косинус угла ВЕА (наклона плоскости АВС к координатной плоскости УОZ) равен: cos (ВЕА) = ВЕ/АЕ = (24/√65) / (√ (2916/5)) = 24/√2916 = 4/9.