Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C_1, A_1, B_1 соответственно. Отрезок BB_1 повторно пересекает окружность в точке K. Известно, что AB=BC=5, AC=6. Найдите BK.

Так как треугольник равнобедренный, то ВВ1 - и высота и медиана.

Находим высоту h треугольника АВС:

h = √ (5² - (6/2) ²) = √ (25 - 9) = √16 = 4.

Искомый отрезок ВК = h - 2r, где r - радиус вписанной окружности.

Радиус r = (b/2) * (sin А / (1 + cos A)).

sin А = h/a = 4/5.

cos A = (b/2) / a = 3/5.

Тогда r = (6/2) * ((4/5) / (1 + (3/5)) = 1,5.

Тогда ВК = 4 - 2*1,5 = 1.