27. Докажите, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой r=2S/a+b+c, где а, b, с - стороны треугольника, S - его площадь.

28. Докажите, что радиус R окружности, описанной около треугольника, выражается формулой R=abc/4S, где а, b, с - стороны треугольника, S - его площадь.

Question

Геометрия

Викентий

24 октября, 19:28

27. Докажите, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой r=2S/a+b+c, где а, b, с - стороны треугольника, S - его площадь.

28. Докажите, что радиус R окружности, описанной около треугольника, выражается формулой R=abc/4S, где а, b, с - стороны треугольника, S - его площадь.

+3

Ответы (1)

Знаете ответ?

Мамелфа · Answer 1

1. Если соединить центр вписанной окружности с вершинами, то треугольник "разобьется" на три, и в каждом роль высоты будет играть радиус в точку касания. Отсюда сразу следует нужная формула S = pr; p - полупериметр. Полезно запомнить её именно в этом виде. Важно и то, что такая формула справедлива не только для треугольника, но и для любого выпуклого многоугольника, в который можно вписать окружность.

2. Высота к стороне a равна b*sin (C), откуда S = a*b*sin (C) / 2; при этом по теореме синусов c = 2*R*sin (C) ; или sin (C) = c / (2*R) ; откуда S = a*b*c/4R чтд.