В конус вписан шар радиуса r. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен альфа. Найдите боковую поверхность конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого АВ=2R. Где R радиус основания конуса. Стороны треугольника равны образующей конуса L. Шар проецируется на осевое сечение как окружность радиуса r с центром в точке О. Обозначим треугольник АВС, С-вершина. Проведём из О перпендикуляры ОК к АС и ОМ к ВС. Из равенства треугольников КОВ и МОВ видно, что ОВ-биссектриса угла СВА. Отсюда ВК=ОК / (tgA/2). Или R=r / (tgA/2). Где А-угол альфа. Далее СВ*cosА=ВК. Или L*cosA=r / (tgA/2). Отсюда величина образующей конуса L=r/cos A * (tgA/2). Боковую поверхность конуса находим по формуле S=пи*R*L=пи * (r/tgA/2) * r/cosA * (tgA/2) = пи*r квадрат/cos A * (tgA/2) квадрат.