боковая поверхность правильной пирамиды составляет 80 процентов от её полной поверхности. Под каким углом наклонены боковые грани пирамиды к плоскости её основания?

Пусть х - высота боковой грани, у - сторона основания пирамиды - равностороннего треугольника, а - искомый угол.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.

Радиус такой окружности равен у/2√3.

Площадь основания равна у^2√3/4.

cosa = у/2√3x

Площадь боковой грани (боковые грани равновелики, так как пирамида правильная) равна ху/2.

Общая площадь боковой поверхности равна 1,5 ху.

Полная площадь поверхности равна 1,5 ху + у^2√3/4

По условию отношение этих площадей равно 0,8.

Потому 1,5 ху / (1,5 ху + у^2√3/4) = 0,8, откуда у = 1,2 х/0,64√3.

Подставляя в выражение для косинуса угла, имеем:

cosa = у/2√3x = 1,2 х / (0,64√3 : 2√3) x = 5/16.

Отсюда а = arccos (5/16)