Стороны треугольника равны 13,14,15 см. Точка М расположенна вне плоскости треугольника удалена от всех его сторон на5 см. Найти расстояние от точки М до плоскости треугольника.

Пусть О - основание высоты из точки М плоскость треуг. АВС и К, Т, Р основания высот на боковых гранях. Т. к. МК=МТ=МР, то и их прекции равны. Это означает, что ОК=ОТ=ОР и О - центр вписанной в АВС окружности R. Но R=S/p, где р - полупериметр АВС и р = (13+14+15) / 2=21. S находим по формуле Герона S = корень из (21-13) 21 (21-14) (21-15) = 84. R=84:21=4, тогда искомое расстояние по Пифагору = корень из (25-16) = 3.