Дан прямоугольный треугольник ABC, угол С=90 градусов, CD перепендикулярно AB, AC=3 см, CD=2,4 см

1) Доказать: ABC подобен ADC, найти стороны треугольника ABC, найти его площадь

2) Разложить вектор CD по векторам CA и CB

3) Найти площадь вписанного в треугольник круга

Решение: 1) Треугольник ABC подобен ADC за двумя углами,

(угол ACB=угол ADC = 90 градусов,

угол BAC=угол DAC).

По теореме Пифагора AD=корень (AC^2-CD^2) = корень (3^2-2.4^2) = 1.8

Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

CD^2=AD*BD, отсюда BD=CD^2/AD, BD=2.4^2/1.8=3.2

Гипотенуза AB=AD+BD=1.8+3.2=5 см

По теореме Пифагора катет BC=корень (AB^2-AC^2) =

=корень (5^2-3^2) = 4 см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S=1/2*AC*BC=1/2*3*4=6 см^2.

2) Дополнив треугольник до параллелограмма,

проведя стороны BF|| CA, AF|| CB

Вектор CD=1/2*вектор CF=1/2 * (вектор CA + вектор CB)

3) Радиус вписанного круга в прямоугольный треугольник равен половине от разницы (сумма катетов - гипотенуза)

r=1/2 * (AC+BC-AB)

r=1/2 * (3+4-5) = 1

Площадь круга равна Sкр=pi*r^2

Sкр=pi*r^2=3.14*1^2=3.14