хорды MN и PK пересекаются в точке A так, что MA = 3 см, NA = 16 м, PA : KA = 1 : 3. Найдите PK и наименьшее значение радиуса этой окружности.

Первая часть выше решена, по поводу решения второй части (наименьшее значение радиуса)

PK = 16 см

MN = 19 см - это наибольшая хорда

если центр окружности (пусть будет точка O) соединить с точками M и N, а OM = ON = r (радиус окружности)

Тогда по теореме косинусов MN^2 = r^2 + r^2 - 2r^2Cosα, где Cosα - угол между OM и ON.

2r^2 (1 - Cosα) = 19^2, наименьший радиус будет в том случае, если (1 - Cosα) - наибольшее (-1 < = Cosα < = 1), т. е. Cosα = - 1 (α = 180 - когда MN - диаметр)

Получим r = 19/2 = 9.5 см