В треуг. АВС угол В 120. АА1, ВВ1, СС1 - биссек. его внутренних углов. Док-ть, что угол А1 В1 С1 - прямой.

здесь можно использовать тот факт, что смежный к углу в 120 градусов угол = 60 градусов

продолжим сторону АВ и опустим из А1 _|_ на АВ (обозначим точку М)

также построим перпендикуляры из А1 к стороне АС (АС2) и биссектрисе ВВ1 (АВ2) :

А1 М _|_ АВ, А1 С2 _|_ АС, А1 В2 _|_ ВВ1

точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла (верно и обратное утверждение: равноудаленная от сторон угла точка лежит на биссектрисе этого угла).

А1 по построению лежит на биссектрисе угла САВ = > А1 М=А1 С2

т. к. смежный к углу АВС угол СВМ = 60 градусов = СВВ1=В1 ВА, то А1 В - - - биссектриса угла МВВ1 = > А1 М = А1 В2 = А1 С2

а теперь из равенства А1 В2 = А1 С2 делаем вывод, что А1 В1 будет биссектрисой угла СВ1 В

т. е. углы СВ1 А1 = А1 В1 В равны.

аналогичные построения и рассуждения докажут, что В1 С1 - - - биссектриса угла ВВ1 А (здесь продолжить сторону СВ, угол смежный с СВА - - - АВК=60 градусов ... и опускать перпендикуляры из С1 на АС, СВ, ВВ1)

итак, получили равенство углов: СВ1 А1 = А1 В1 В и ВВ1 С1 = С1 В1 А

развернутый угол СВ1 А = 180 = СВ1 А1+А1 В1 В+ВВ1 С1+С1 В1 А = 2*А1 В1 В + 2*ВВ1 С1 =

2 * (А1 В1 В + ВВ1 С1) = 2*А1 В1 С1 = >

А1 В1 С1 = 180/2 = 90 градусов