Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

Вообще-то полезно запомнить. В равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен R = a/√3; а радиус вписанной окружности в 2 раза меньше, r = a/2√3;.

Прямой способ - применить теорему синусов 2*R*sin (60°) = a, откуда это сразу следует. Если теорема синусов незнакома - не беда, в правильном треугольнике все центры совпадают, и центр описанной окружности лежит на пересечении медиан, то есть на расстоянии (2/3 от длины медианы-биссектрисы-высоты) от вершины и (1/3 от длинны этой высоты) от стороны. То есть R = 2*H/3; r = H/3;

Высота равна H = а*√3/2, что легко сосчитать из треугольника с гипотенузой а и малым катетом а/2. А радиус R = (2/3) * a*√3/2 = a*√3/3 = a/√3; r = R/2 = a/2√3;

Ответ r = 2√3;

1) Радиус вписанной окружности равен отношению площади тр-ка к его полупериметру, т. е. r = SΔ / p

p = 3·AB/2 = 3·12/2 = 18 (cм)

SΔ = AB²·√3/4 = 12²·√3/4 = 36√3 (cм²), тогда

r = 36√3/18 = 2√3 (cм).

Ответ: 2√3 см.