Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP равен 12 см, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

радиус вписанной окружности r = S / p = 2S / P, P---периметр

S (ABC) = AC*BC/2

tg (ABC) = AC/BC = > AC = 2.4*BC

AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2.4*BC) ^2 + BC^2 = BC^2 * (2.4*2.4+1) = 6.76*BC^2

AB = 2.6*BC

P (ABC) = AB+AC+BC = 2.6*BC+2.4*BC+BC = 6*BC

r = AC*BC / 6*BC = AC/6

аналогично для треугольника ACP:

треугольники АВС и АРС подобны (они прямоугольные, угол А - - - общий) = >

угол АСР = углу АВС = > tg (ABC) = tg (АCР) = АP/СP = > АP = 2.4*СP

AС^2 = CР^2 + АР^2 = CР^2 + (2.4*СP) ^2 = CР^2 * (2.4*2.4+1) = 6.76*CР^2

AС = 2.6*CР

S (ACP) = CP*AP/2

r (ACP) = 12 = CP*AP / (AC+CP+AP)

CP*AP = 12 (AC+CP+AP)

СР*2.4*СP = 12 (2.6*CР+СР+2.4*СP)

СР*2.4*СP = 12*6*CР

СР = 12*6/2.4 = 30

АС = 2.6*30

r = AC/6 = 2.6*30/6 = 2.6*5 = 13