Длина катета прямоуголного треуголника 20 см. Найти длину проекции данного катета на гипотенузу, если длина проекции другого катета на гипотенузу 42 см

Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС, катет АВ = 20 см, угол В - прямой, высота из прямого угла ВД, проекция ВС на АС равна 42 см.

Обозначим сторону ВС за х.

Косинус угла С равен 42/х, он же равен синусу угла А.

Высота ВД = √ (х²-42²) = √ (х² - 1764).

Синус угла А равен ВД/АВ = √ (х² - 1764) / 20.

Приравняем: √ (х² - 1764) / 20 = 42/х.

Чтобы избавиться от корня, возведём обе части равенства в квадрат.

(х² - 1764) / 400 = 1764/х².

Получаем биквадратное уравнение х⁴-1764 х² - 705600 = 0.

Делаем замену: х ² = у.

у²-1764 у-705600 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:

D = (-1764) ^2-4*1 * (-705600) = 3111696-4 * (-705600) = 3111696 - (-4*705600) = 3111696 - (-2822400) = 3111696+2822400=5934096; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y₁ = (√5934096 - (-1764)) / (2*1) = (2436 - (-1764)) / 2 = (2436+1764) / 2=4200/2=2100; y₂ = (-√5934096 - (-1764)) / (2*1) = (-2436 - (-1764)) / 2 = (-2436+1764) / 2=-672/2=-336 этот корень отбрасываем - х² не может быть отрицательным числом.

Отсюда х = √2100 = 10√21 ≈ 45,82576 см.

Теперь находим сторону АС = √ (400+2100) = √2500 = 50 см.

Искомая проекция стороны АВ на АС равна 50-42 = 8 см.