Дан прямоугольник стороны которого идут по линиям решетки, а вершины лежат в узлах. Количество узлов внутри прямоугольника равно u, а на границе g. Докажите, что S=u+-1

P. s. спам не слать, жалуюсь!

Решётка состоит из ячеек, разделённых прутьями, образующих при пересечении узлы.

Площадь прямоугольника обозначает количество ячеек внутри прямоугольника.

Обозначим количество ячеек, примыкающих к сторонам прямоугольника как х и у.

Количество узлов, на одной из сторон будет равно х+1, а на другой у+1. Однако угловые узлы у них общие. Тогда количество узлов у противоположных сторон прямоугольника со стороной х будет 2 (х+1), а у пары сторон со стороной у будет 2 ((у+1) - 2) = 2 (у-1).

Посчитаем сумму узлов по периметру: g=2 (х+1) + 2 (у-1) = 2 (х+у).

Оставшиеся узлы решётки находятся внутри прямоугольника. Их сумма: u = (х-1) · (у-1).

Площадь прямоугольника:S=х·у.

Докажем равенство.

S=u+g/2-1 = (х-1) (у-1) + 2 (х+у) / 2-1=х·у-х-у+1+х+y-1=х·у.

Доказано.