Дан квадрат со стороной b, в него вписана окружность, в эту окружность вновь вписан квадрат так, что стороны вновь получившегося квадрата параллельным сторонам данного квадрата. В этот квадрат опять вписана окружность и т. д. до бесконечности. найдите сумму площадей всех полученных квадратов, а также сумму длин всех полученных окружностей.

Диаметр окружности равен стороне описанного квадрата и диагонали вписанного. Поэтому у квадрата №2 диагональ равна стороне квадрата №1, то есть b; поэтому площадь второго квадрата в 2 раза меньше, чем у первого. Бесконечная сумма площадей выглядит так

b^2 * (1 + 1/2 + 1/4 + ...) = 2*b^2; это просто геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1/2;

Линейные размеры двух последовательных окружностей связаны так же, как и линейные размеры последовательных квадратов (а - почему?), то есть длина первой окружности π*b; второй π*b/√2 и так далее, сумма длин окружностей будет такая

π*b (1 + 1/√2 + 1/2 + 1/2√2 + ...) = π*b / (1 - 1/√2) = π*b*√2 * (√2 + 1) = π*b * (2 + √2)