В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС на катете АС взята точка Р, так что полуокружность построенная на РС как на диаметре касается АВ гипотенузе. каким отношением делится РВ полуокружностью?

Если принять AC = BC = 1; то AB = √2;

Если симметрично отобразить треугольник вместе с полуокружностью относительно AC, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник ABB1 с гипотенузой BB1 = 2 и вписанной в него окружностью. Отсюда диаметр этой окружности PC = AB + AB1 - BB1 = 2 √2 - 2;

Треугольник PCB - прямоугольный с катетами BC = 1; PC = 2 √2 - 2;

Если M - точка пересечения PB и полуокружности, то ∠CMP - прямой, поскольку опирается на диаметр, то есть CM - высота в прямоугольном треугольнике PCB; она делит гипотенузу PB в отношении, равном квадрату отношения катетов, то есть

PM/MB = (PC/BC) ^2 = 4 (√2 - 1) ^2 = 4 (3 - 2√2) ;