В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 136. найдите стороны треугольника ABC

Question

Геометрия

Авдоша

31 мая, 21:52

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 136. найдите стороны треугольника ABC

+5

Ответы (1)

Знаете ответ?

Гая · Answer 1

Сегодня такая же задача была на экзамене у меня. Пусть O - точка пересечения медианы и биссектрисы. Нам нужно найти стороны AB, BC и AC.

Медиана AD делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника : S ADC = S ADB = 1/2 S ABC.

Соединим точки E и D. Отрезок ED будет являться медианой треугольника BEC значит S DBE = S EDC.

Рассмотрим треугольник ABD : 1) В нём углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса, но BO ещё и является высотой треугольника, так как BE ⊥ AD.

2) Поэтому треугольник ABD равнобедренный и AB = BD. 3) Медиана BO делит основание AD на два равных отрезка AO=OD=136 / 2=68.

Рассмотрим треугольники ABE и DBE: 1) В них углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса. BE общая сторона, AB = BD 2) Треугольник ABE равен треугольнику DBE по первому признаку, поэтому S ABE = S DBE = S EDC = 1/3 S ABC.

S ABE = 1/2 * BE * AO = 1/2 * 136 * 68 = 4624.

S ABC = 3 S ABE = 4624 * 3 = 13872.

S ABD = 1/2 S ABC = 13872 / 2 = 6936.

S ABD = 1/2 * AD * BO = 6936 = = = > 68 * BO = 6936 = = > BO = 102.

Рассмотрим треугольник ABO : 1) В нём угол BOA = 90° так как BO ⊥ AD.

2) Поэтому треугольник ABO прямоугольный и по теореме Пифагора находим AB = √ (BO² + AO²) = √ (10404 + 4624) = √15028 = √ (4 * 13 * 17 * 17) = 34*√13.

Так как AD - медиана, то BD = DC = AB = 34*√13. Поэтому сторона BC равна 2 * AB = 68 * √13.

Осталось найти последнюю сторону AC

Рассмотрим треугольник AEO:

1) В нём угол AOE=90, OE = BE - BO = 136 - 102 = 34.

2) Поэтому треугольник AEO прямоугольный, и по теореме пифагора находим гипотенузу AE. AE = √ (0E² + AO ²) = √ (1156 + 4624) = √5780=√ (5 * 4 * 17 * 17) = 17 * 2 * √5 = 34*√5.

Так как BE - биссектриса, то она делит сторону AC на отрезки, которые одинаково относятся к прилегающим им сторонам AB и BС, тоесть AE/AB = EC/BC. (34 * √5) / (34 * √13) = EC / (68 * √13). Если всё сократить и воспользоваться свойством пропорции получаем, что EC = 68 * √5.

AC = AE + EC = (68 * √5) + (34 * √5) = √5 * (68 + 34) = 102 * √5.

Ответ : AB = 34 * √13, BC = 68 * √13, AC = 102 * √5.