Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в соотношении 3:5. Найдите длину основы этой трапеции.

Нелин, Геометрия, 10 класс, профильный уровень.

1. По формуле средней линии трапеции имеем:

(а + b) / 2 = 10

где a, b - верхнее и нижнее основания

откуда получаем:

a + b = 20

а = 20 - b

2. Находим площадь S₁ верхней части трапеции, которая по условию составляет 3 части

S₁ = (10+а) / 2 * h

Находим площадь S₂ нижней части трапеции, которая по условию составляет 5 частей

S₂ = (10 + b) / 2 h

h - высота каждой из вышеуказанных трапеций, которая равна половине высоты данной основной трапеции.

3. Получаем пропорцию

S₁ : S₂ = 3 : 5

Подставив вместо S₁ и S₂ их выражения, имеем

(10+а) / 2 * h : (10 + b) / 2 h = 3 : 5

Сократив, имеем

(10 + a) * 5 = (10 + b) * 3

Подставляем вместо а выражение а = 20 - b

(10 + 20 - b) * 5 = (10 + b) * 3

(30 - b) * 5 = 30 + 3b

150 - 5b = 30 + 3b

5b + 3b = 150 - 30

8b = 120

b = 120 : 8

b = 15 - нижнее основание

а = 20 - b

а = 20 - 15 = 5

a = 5 - верхнее основание

Ответ: а = 5; b = 20