В полушар радиуса R = 8 вписана правильная треугольная призма так, что одно ее основание принадлежит плоскому основанию полушара, а все вершины другого основания призмы расположены на сферической поверхности полушара. Укажите наибольший объем такой призмы

Сечение полушара плоскостью "другого" основания - это (само собой) окружность, причем это окружность, описанная вокруг правильного треугольника, который является этим основанием.

Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть

r^2 = R^2 - h^2;

Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением

r^2 = a^2/3;

а площадь S основания призмы равна

S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4) * (R^2 - h^2) ;

Объем, само собой, равен

V = S*h = (3√3/4) * (R^2 - h^2) * h;

В точке экстремума

V' (h) = (3√3/4) * (R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3;

Поскольку V (h) = 0; при h = 0 и h = R; V (h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно

V = R^3/2;