Выведите формулы выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин

Пусть координаты таковы:

A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3)

AM, BN - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан.

Так как M - середина BC, то ее координаты:

M ((x2+x3) / 2; (y2+y3) / 2)

Находим координаты вектора AM

AM = ((x2+x3) / 2-x1; (y2+y3) / 2-y1)

AM = ((x2+x3-2x1) / 2; (y2+y3-2y1) / 2)

Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,

Тогда

AO = 2/3 * AM

Значит вектора AO

AO = (2/3 * (x2+x3-2x1) / 2; 2/3 * (y2+y3-2y1) / 2)

AO = ((x2+x3-2x1) / 3; (y2+y3-2y1) / 3)

Осталось найти координаты точки O (x0; y0)

AO = (x0 - x1; y0 - y1)

Значит

x0 - x1 = (x2 + x3 - 2 * x1) / 3 = > x0 = (x1 + x2 + x3) / 3

y0 - y1 = (y2 + y3 - 2 * y1) / 3 = > y0 = (y1 + y2 + y3) / 3