Диск радиусом 1 м и массой 4 кг вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр. На него действует момент силы, зависимость которого от времени задана уравнением M=7-2t (н*м). Определить: изменение момента импульса диска за промежуток времени от t1=2 с до t2=3 с; угловое ускорение в момент времени t=0.5 с и кинетическую энергию диска в момент времени t=4 с (при t=0, w0=0).

По закону динамики вращательного движения, J*dw-dt=M, где J - момент инерции диска, w - угловая скорость. Для диска J=m*R²/2, где m и R - масса и радиус диска. Подставляя известные значение m и R в уравнение, получаем уравнение 2*dw/dt=7-2*t, откуда dw/dt=7/2-t рад/с². Тогда dw=7/2*dt-t*dt. Интегрируя, получаем w (t) = 7/2*∫dt-∫t*dt=7/2*t-1/2*t²+С. Используя начальное условие w (0) = w0=0, находим C=0, и тогда окончательно w (t) = 7/2*t-1/2*t² рад/с. Так как момент импульса L=J*w, то его изменение ΔL=J*w (3) - J*w (1) = J*3=2*3=6 кг*м²*рад/с. Угловое ускорение e (0,5) = 7/2-0,5=3 рад/с². Кинетическая энергия E=J*w² (4) / 2==2*6²/2=36 Дж.