Будут ли одинаковы периоды обращения искусственных спутников Земли и Луны, если эти спутники находятся на одинаковых расстояниях от них? И почему?

Конечно нет) Период обращения напрямую зависит от центростремительного ускорения, которое обретает спутник в результате притяжения Землей/Луной: T=4π²R/g.

В свою очередь, это ускорение прямо пропорционально значению массы Земли/Луны, и обратно пропорционально расстояния между спутником и небесным телом. Пусть это расстояние в обоих случаях и равно, но вот массы Луны и Земли различны, а значит центростремительное ускорение спутника Земли будет больше. Из этого делаем вывод, что период обращения спутника Земли будет меньше, чем период обращения спутника Луны.