Хочу задать заново задачку UmbertoVargas, которую удалили, потому что никто не ответил. Полагаю эта задачка достойна быть увековеченной на сайте.

Шарик бросают из точки А вертикально вверх с начальной скоростью v0. Когда он достигнет предельной высоты подъема, из точки А по тому же направлению с той же начальной скоростью v0 бросают другой такой же шарик. Через некоторое время шарики встречаются и происходит абсолютно упругое соударение. На какой высоте соударяются шарики? На какую высоту после соударения поднимается первый шарик?

1) условимся пренебрегать сопротивлением воздуха во всех последующих действиях

2) определим максимальную высоту подъема h' 1 шарика через закон сохранения энергии:

(m v0²) / 2 = mgh',

h' = v0² / (2g).

3) напишем уравнение координаты для некоторой оси, направленной вертикально, для обоих шариков:

h = h' - (g t²) / 2,

h = v0*t - (g t²) / 2,

где h - высота, на которой происходит соударение. с учетом выражения для h', перепишем в виде

h = (v0² / (2g)) - (g t²) / 2,

h = v0*t - (g t²) / 2.

приравнивая данные выражения, находим, что время встречи равно

t = v0 / (2g).

зная время встречи шариков, нетрудно узнать координату. подставляем выражение для t в любое уравнение y (t) шариков и получаем:

h = (3v0²) / (8g).

4) чтобы определить, на какую высоту после соударения поднимется первый шарик, определим сначала его скорость перед соударением v1. по закону сохранения энергии:

mgh' = mgh + (m v1²) / 2

с учетом выражения для h и h', находим, что:

v1 = v0 / 2.

определим также скорость второго шарика перед столкновением из кинематического уравнения:

v2 = v0 - gt. время встречи шаров мы знаем. получаем

v2 = v0 / 2.

5) теперь, чтобы определить скорость первого шарика после столкновения, составим систему из закона сохранения импульса и энергии. обозначим скорость первого шара после соударения v1', скорость второго - v2'

mv2 - mv1 = mv1' - mv2'

(m v2²) / 2 + (m v1²) / 2 = (m v1'²) / 2 + (m v2'²) / 2

из ЗСИ нетрудно определить, что v1' = v2' (v2 + v2' = v1' + v1)

перепишем ЗСЭ в виде: (v0²/4) + (v0²/4) = 2 v1'². отсюда

v1' = v0 / 2.

6) вновь запишем закон сохранения энергии. рассматриваем ситуацию, когда 1 шарик на высоте h со скоростью v1' полетел после соударения вверх до некоторой максимальной искомой высоты H

mgh + (m v1'²) / 2 = mgH

получаем, что H = v0² / (2g) - довольно интересный, симметричный результат, к слову ...