Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты Н = 2 м по доске, наклоненной под углом α = 45° к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность μ = 0,5. На каком расстоянии от конца доски мешок остановится?

Ситуацию можно смоделировать так:

на горизонтальную поверхность падает мешок под углом α к горизонту со скоростью, равной V. происходит неупругий удар, вследствие чего мешок может остановиться, а может продолжить движение вдоль плоскости и проехать какое-то расстояние S, которое необходимо найти

во-первых, найдем скорость V мешка перед ударом. по закону сохранения энергии:

mgH = Fтр L + (m V²) / 2,

где L - расстояние, которое мешок проезжает вдоль наклонной плоскости. из геометрических соображений L = H/sinα. из динамики (закон Кулона-Амонтона) Fтр = u mg cosα. тогда:

V² = 2gH - 2 u g H ctgα = 2gH (1 - u ctgα)

во-вторых, неупругость удара означает, что вертикальная компонента импульса мешка исчезла в результате удара. это дает нам оценку величины силы нормальной реакции опоры N при ударе. если время удара t, то импульс силы N равен:

N t = m V sinα

импульс силы трения за время удара:

F t = u N t = u m V sinα

этот результат позволяет узнать, на сколько изменилась горизонтальная компонента импульса мешка за время удара:

u m V sinα = m (V cosα - U),

U = V cosα (1 - u tgα), где U - скорость мешка после удара

далее кинетическая энергия мешка (m U²) / 2 полностью перейдет в работу силы трения и он остановится, пройдя искомое расстояние S:

(m U²) / 2 = u mg S

S = U² / (2ug)

S = (H cos²α) / u * (1 - u tgα) ² * (1 - u ctgα)

S = (0.5*0.5²*2*0.5) / 0.5 = 0.25 м