После удара футболиста начальная скорость мяча направлена точно под верхнюю перекладину ворот. Однако мяч, описав дугу, упал у ног вратаря, находящегося на линии ворот. Высота ворот h=2 м. Сколько времени мяч находился в полете?

Пусть L - дистанция до ворот, V - начальная скорость, α - угол удара, нацеленный под штангу, h - высота ворот.

Тогда время пролета мяча равно времени преодаления дистанции L с постоянной скоростью, равной горизонтальной составляющей вектора начальной скорости

t = L/VCosα

Это же время равно времени свободного полета по вертикали с начальной скоростью, равной вертикальной составляющей начальной скорости:

t = 2VSinα/g

Из геометрии выражаем тригонометрические функции угла, с которым футболист с дистанции L прицелился под штангу ворот высотой h

Sinα = h/√ (h²+L²)

Cosα = L/√ (h²+L²)

Подставив эти выражения в уравнения для времени t, получаем:

t = √ (h²+L²) / V

t = 2Vh/g√ (h²+L²)

Из первого уравнения получаем выражение для V = √ (h²+L²) / t

и подставляем его во второе

t = 2√ (h²+L²) h/gt√ (h²+L²) = 2h/gt

то есть

t = 2h/gt

t² = 2h/g

откуда

t = √2h/g

Таким образом, мяч находился в полёте

t = √0.4 = 0,63 сек

PS

Эту любопытную задачу можно решить проще.

Футболист "забыл" о гравитации, и прицелился в ворота под штангу "по прямой".

Не будь земного притяжения, мяч влетел бы под штангу за время t = √ (h²+L²) / V

Однако, из-за того, что на поле действует сила тяжести, за то же самое время мяч "увело" вниз как раз на высоту ворот h: h = gt²/2 - поскольку в результате мяч приземлился у ног вратаря.

Откуда мы и получаем выражение для времени полёта:

t = √2h/g