3+5 + 7 + ... (2n + 1) = n (n + 2) метод математической индукции

При n=1 утверждение верно - 3=1 * (1+2).

Пусть утверждение верно для n=k, докажем, что оно верно для n=k+1.

Мы знаем, что 3+5+7 + ... + (2k+1) = k (k+2), докажем, что тогда

3+5+7 + ... + (2k+1) + (2k+3) = (k+1) (k+3)

Вычтем из левой части левую часть исходного равенства, а из правой части правую часть исходного равенства:

3+5+7 + ... + (2k+1) + (2k+3) - 3-5-7 - ... - (2k+1) = (k+1) (k+3) - k (k+2)

Левая часть будет равна 2k+3, а правая k²+4k+3 - (k²+2k) = 2k+3. Из этого следует, что равенство 3+5+7 + ... + (2k+1) + (2k+3) = (k+1) (k+3) также верно, что и требовалось доказать.

3+5 + 7 + ... (2n + 1) = n (n + 2) метод математической индукции

считаем что верно для N и дркажем для N+1

3+5 + 7 + ... (2n + 1) + (2n+3) = (n+1) (n + 3)

3+5 + 7 + ... (2n + 1) + (2n+3) = n (n+2) + 2n+3=n^2+2n+2v+3=n^2+4n+3 = (n+1) (n+3) чтд