Доказать, что корень из трех не является рациональным числом

Доказывается элементарно предположением от обратного.

Допустим, корень из трех - рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби m/n, где m и n - целые числа. Возведем в квадрат:

3=m^2/n^2, откуда m^2=3*n^2

Отсюда следует, что m^2 делится на 3, но тогда и m делится на 3, т. е. m^2 делится на 9.

Но тогда и n^2 будет делиться на 3 (одна тройка стоит в качестве коэффициента), тогда и n будет делиться на 3. Получили, что m делится на 3 и n делится на три, что противоречит несократимости дроби m/n. Следовательно, корень из трех - иррациональное число.