Решите тригонометрическое уравнение

√ (1+sin2x) - (√2) cos3x=0

√ (1 + sin 2x) = √ (sin^2 x + cos^2 x + 2sin x*cos x) =

= √ (sin x + cos x) ^2 = |sin x + cos x|

Далее

sin x + cos x = √2 * (1/√2*cos x + 1/√2*sin x) =

= √2 * (cos Π/4*cos x + sin Π/4*sin x) = √2*cos (x-Π/4)

Подставляем

√2*|cos (x+Π/4) | - √2*cos 3x = 0

Делим на √2

|cos (x+Π/4) | - cos 3x = 0

1) Если cos (x-Π/4) < 0, то

-cos (x-Π/4) - cos 3x = 0

Сумма косинусов

-2cos ((x-Π/4+3x) / 2) * cos ((x-Π/4-3x) / 2) = 0

-2cos (2x-Π/8) * cos (-x-Π/8) = 0

A) cos (2x-Π/8) = 0

2x-Π/8 = Π/2+Π*n; x = 5Π/16+Π/2*n

Но cos (x-Π/4) = cos (Π/16+Π/2*n) < 0

n=1 и n=2 подходят, n=0 и n=3 не подходят

x1 = 5Π/16+Π/2 * (4k+1)

x2 = 5Π/16+Π/2 * (4k+2)

B) cos (-x-Π/8) = cos (x+Π/8) = 0

x+Π/8 = Π/2+Π*n; x = 3Π/8+Π*n

Но cos (x-Π/4) = cos (Π/8+Π*n) < 0

Подходят только нечётные n.

x3 = 3Π/8+Π * (2k+1)

2) Если cos (x-Π/4) = 0, то выполняется система:

{ cos (x-Π/4) = 0

{ cos 3x = 0

Получаем

{ x-Π/4 = Π/2+Π*n; x = 3Π/4+Π*n

{ 3x = Π/2+Π*n; x = Π/6+Π/3*m

Переменные n и m независимы. Но ни при каких n и m эти корни не совпадают. Поэтому здесь корней нет.

3) Если cos (x-Π/4) > 0, то

cos (x-Π/4) - cos 3x = 0

Разность косинусов

-2*sin ((x-Π/4-3x) / 2) * sin ((x+Π/4+3x) / 2) = 0

-2*sin (-x-Π/8) * sin (2x+Π/8) = 0

A) sin (-x-Π/8) = - sin (x+Π/8) = 0

x + Π/8 = Π*n; x = - Π/8+Π*n

Но cos (x-Π/4) = cos (-3Π/8+Π*n) > 0

Подходят только четные n

x4 = - Π/8 + Π*2k

B) sin (2x+Π/8) = 0

2x+Π/8 = Π*n

2x = - Π/8 + Π*n; x = - Π/16+Π/2*n

Но cos (x-Π/4) = cos (-5Π/16+Π/2*n) > 0

n=0 и n=1 подходят, n=2 и n=3 не подходят.

x5 = - 5Π/16 + Π/2*4k

x6 = - 5Π/16 + Π/2 * (4k+1)

Ответ: x1; x2; x3; x4; x5; x6 отмечены жирным.