Докажите что при любом целом n выражение:

а) (n+13) ^2-n^2 делится на 13

б) (2n-5) ^2 - (2n+1) ^2 делится на 24

в) (3n+1) ^2 - (n-1) ^2 делится на 16

г) 2n^3-2n делится на 12

^-это степень

А) (n+13) ²-n²=

=n²+2*13*n+13²-n²=

=2n*13+13*13=

=13 (2n+13) делится на 13, потому что хотя бы один множитель делится на 13.

б) (2n-5) ² - (2n+1) ²=

=4n²-2*2n*5+5² - (4n²+2*2n*1+1²) =

=4n²-20n+25-4n²-4n-1=

=-24n+24=

=24 (1-n) делится на 24, потому что один из множителей делится на 24.

в) (3n+1) ² - (n-1) ²=

=9n²+2*3n*1+1² - (n²-2*n*1+1²) =

=9n²+6n+1-n²+2n-1=

=8n²+8n=8n (n+1).

Рассмотрим два случая.

По условию n целое, пусть n=2k-1 нечетноe, тогда n+1=2k целое четное,

тогда 8n (n+1) = 8 (2k-1) * 2k=16k (2k-1) делится на 16.

Пусть n=2k четное, соответственно n+1=2k+1 нечетное,

тогда 8n (n+1) = 8*2k (2k+1) = 16k (2k+1) делится на 16.

г) 2n³-2n=2n (n²-1) = 2n (n-1) (n+1)

n-1, n, n+1 три целых последовательных числа, хотя бы одно из них является четным и кратно 2, а одно точно кратно 3, значит они содержат в себе простые множители 2 и 3, пусть n=2k, n-1=2k-1, n+1=2k+1=3t, а значит

2n (n-1) (n+1) = 2*2k (2k-1) 3t=12kt (2k-1) делится на 12.