Решите систему : x2-xy+y2=3;

2x2-xy-y2=5

X^2 - xy + y^2 = 3 |*5

2x^2 - xy - y^2 = 5 |*3

5x^2 - 5xy + 5y^2 = 15

6x^2 - 3xy - 3y^2 = 15 | (2) - (1)

x^2 + 2xy - 8y^2 = 0

Подставляя значение х = 0 и y = 0 в исходную систему, убеждаемся, что (0; 0) не является её решением. Поэтому можем почтенно разделить полученное уравнение на xy.

x/y + 2 - 8y/x = 0

Замена x/y = t, t 0

t + 2 - 8/t = 0 | * t

t^2 + 2t - 8 = 0

По теореме Виета: t1 = - 4, t2 = 2.

При t = - 4: x/y = - 4 или x = - 4y.

Подставляем в первое уравнение исходной системы:

(-4y) ^2 - (-4y) * y + y^2 = 3

21y^2 = 3

y = (+/-) 1/sqrt7

x = (-/+) 4/sqrt7

При t = 2: x/y = 2 или x = 2y.

Подставляем в первое уравнение исходной системы:

(2y) ^2 - 2y*y + y^2 = 3

3y^2 = 3

y = (+/-) 1

x = (+/-) 2

Ответ: (1/sqrt7; - 4/sqrt7), (-1/sqrt7; 4/sqrt7), (1; 2), (-1; - 2).